Simplesmente Matemática - Blog do Prof. Fagner

2011-07-04T14:57:00.001-07:00

2011-07-04T14:51:00.000-07:00

Regra de Sinais e Jogo de Sinais

2009-08-10T09:45:00.000-07:00

'A GRANDE DÚVIDA'

"REGRA DE SINAIS X JOGO DE SINAIS"

...ONDE USAMOS ???

* Regra de Sinais = ADIÇÃO ALGÉBRICA

* Jogo de Sinais = MULTIPLICAÇÃO,DIVISÃO E ELIMINAÇÃO DE () [] e {}

REGRA DE SINAIS

SINAIS IGUAIS	SOMAMOS E REPETIMOS O SINAL
SINAIS DIFERENTES	SUBTRAIMOS E REPETIMOS O SINAL DO NÚMERO QUE FOR MAIOR EM MÓDULO

JOGO DE SINAIS

+	+	=	+
+	-	=	-
-	+	=	-
-	-	=	+

OU SEJA:

* SINAIS IGUAIS = RESULTADO POSITIVO

* SINAIS DIFERENTES = RESULTADO NEGATIVO

Raciocínio Lógico Il

2009-07-24T11:30:00.000-07:00

01. O economista José Júlio Senna estima que em 1998 o déficit em conta corrente do
país será de US$ 40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução das importações,
esse déficit diminuirá em US$ 12 bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagar US$
29 bilhões em amortizações. Nessas condições, mesmo supondo que entrem US$ 17
bilhões em investimentos diretos e US$ 15 bilhões para financiar as importações, ainda
faltarão para o país equilibrar suas contas uma quantia em dólares igual a
a) 1 bilhão
b) 13 bilhões
c) 25 bilhões
d) 29 bilhões
e) 32 bilhões

02. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO
afirmar que pelo menos duas dessas pessoas
a) nasceram num mesmo ano.
b) nasceram num mesmo mês.
c) nasceram num mesmo dia da semana.
d) nasceram numa mesma hora do dia.
e) têm 50 anos de idade.

03. Com 1.260 kg de matéria prima uma fábrica pode produzir 1.200 unidades diárias de
certo artigo durante 7 dias. Nessas condições, com 3.780 kg de matéria prima, por
quantos dias será possível sustentar uma produção de 1.800 unidades diárias desse
artigo?
a) 14
b) 12
c) 10
d) 9
e) 7

04. Alberto recebeu R$ 3.600,00, mas desse dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a
Carlos. Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e
este deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas
condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente,
a) 1.800 e 720 reais.
b) 1.800 e 360 reais.
c) 1.600 e 400 reais.
d) 1.440 e 720 reais.
e) 1.440 e 288 reais.

05. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada
cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos
distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é
a) 518.400
b) 1.440
c) 720
d)120
e) 54

06. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possível obter como resultado quase todos
os números inteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33 = (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).
O maior número que NÃO pode ser obtido dessa maneira é
a) 130
b) 96
c) 29
d) 27
e) 22

07. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar
exatamente 2 caras e 2 coroas?
a) 25%
b) 37,5%
c) 42%
d) 44,5%
e) 50%

08. Numa loja de roupas, um terno tinha um preço tão alto que ninguém se interessava
em comprá-lo. O gerente da loja anunciou um desconto de 10% no preço, mas sem
resultado. Por isso, ofereceu novo desconto de 10%, o que baixou o preço para R$
648,00. O preço inicial desse terno era superior ao preço final em
a) R$ 162,00
b) R$ 152,00
c) R$ 132,45
d) R$ 71,28
e) R$ 64,00

09. Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que
sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de
intérprete. Ambos encontram outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele
fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz - Ele disse que sim, mas ele
pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é correto concluir que
a) Y fala a verdade.
b) a resposta de Y foi NÃO.
c) ambos falam a verdade.
d) ambos mentem.
e) X fala a verdade.

10. Se 1 hectare corresponde à área de um quadrado com 100 m de lado, então
expressando-se a área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados obtém-se
a) 3.600
b0 36
c) 0,36
d) 0,036
e) 0,0036

11. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.
Segue-se, portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C

12. Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):
Premissa 1: ''X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P''
Premissa 2: ''X não está contido em P''
Pode-se, então, concluir que, necessariamente
a) Y está contido em Z
b) X está contido em Z
c) Y está contido em Z ou em P
d) X não está contido nem em P nem em Y
e) X não está contido nem em Y e nem em Z

13. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho
não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:
a) jardim é florido e o gato mia
b) jardim é florido e o gato não mia
c) jardim não é florido e o gato mia
d) jardim não é florido e o gato não mia
e) se o passarinho canta, então o gato não mia

14. Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco
suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado,
cada um deles respondeu:
Armando: ''Sou inocente''
Celso: ''Edu é o culpado''
Edu: ''Tarso é o culpado''
Juarez: ''Armando Disse a verdade''
Tarso: ''Celso mentiu''
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a
verdade, pode-se concluir que o culpado é:
a) Armando
b) Celso
c) Edu
d) Juarez
e) Tarso

15. Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado,
na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos
de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2
b) 4
c) 24
d) 48
e) 120

16. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e
40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um
dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado
em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200
b) 130/200
c) 150/200
d) 160/200
e) 190/200

17. Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs:
Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e
mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que
sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e
meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

18. Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente
da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

19. Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e
condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é
condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,
a) D ocorre e B não ocorre
b) D não ocorre ou A não ocorre
c) B e A ocorrem
d) nem B nem D ocorrem
e) B não ocorre ou A não ocorre

20. Dizer que ''Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista'' é, do ponto de vista lógico, o
mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

Raciocínio Lógico I

2009-07-24T11:20:00.000-07:00

1) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C.
Segue-se, portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C

2) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios):
Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P"
Premissa 2: "X não está contido em P"
Pode-se, então, concluir que, necessariamente
a) Y está contido em Z
b) X está contido em Z
c) Y está contido em Z ou em P
d) X não está contido nem em P nem em Y
e) X não está contido nem em Y e nem em Z

3) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado,
na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos
de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2
b) 4
c) 24
d) 48
e) 120

4) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e
40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um
dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado
em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200
b) 130/200
c) 150/200
d) 160/200
e) 190/200

5) Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida entre três irmãs:
Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade das barras de ouro, e
mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que
sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e
meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

6) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente
da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

7) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e
condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é
condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,
a) D ocorre e B não ocorre
b) D não ocorre ou A não ocorre
c) B e A ocorrem
d) nem B nem D ocorrem
e) B não ocorre ou A não ocorre

8) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é
espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é
espanhol nem Isaura é italiana. Logo:
a) Pedro é português e Frederico é francês
b) Pedro é português e Alberto é alemão
c) Pedro não é português e Alberto é alemão
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês

9) Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia,
então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo,
segue-se necessariamente que:
a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina
b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina
c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina
d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática
e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia

10) Maria tem três carros:
um Gol, um Corsa e um Fiesta.
Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul.
Sabe-se que:
1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco,
2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul,
3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul,
4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta
são, respectivamente,
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e) branco, azul, preto

Estatística

2009-07-06T03:49:00.000-07:00

Introdução à estatística

1- Objeto da estatística

Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio padrão.
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que representam.
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm.
Quando de posse dos dados, procura-se agrupa-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a aleatoriedade presente.
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.

Exemplo 1:

Ao chegarmos a uma churrrascaria, não precisamos comer todos os tipos de saladas, de sobremesas e de carnes disponíveis, para conseguirmos chegar a conclusão de que a comida é de boa qualidade. Basta que seja provado um tipo de cada opção para concluirmos que estamos sendo bem servidos e que a comida está dentro dos padrões.

2- População e amostra

Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente tería-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que uma pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos.
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra.
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-se só alguns elementos, a que damos o nome de Amostra.

Exemplo 2:

Se o objetivo for estudar o desempenho escolar de um colégio, é indicado estudar as notas dos alunos ao final do ano letivo. A partir daí poderemos facilmente obter a percentagem de aprovações e reprovações.
Agora, se entretanto o interesse for aprofundar o estudo, saber se por exemplo o sucesso no estudo pode ser atribuído para as alunas ou alunos, deveremos recolher não somente a informação relativa a nota do aluno que aprovou ou não, mas também para cada um, o sexo.

	Aprovados
Masculino	28%
Feminino	13%
Total	41%

Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua utilização pode dar origem a interpretações erradas.

3- Recenseamento

Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um País. Ele abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte modo:
Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de adquirir conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características importantes desse universo.

4- Estatística descritiva e estatística indutiva

Sondagem
Por vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o número de elementos da população é muito elevado, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudar uma ou mais características particulares dessa população.
Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como:
Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar atitudes, hábitos e preferências da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de interesse comum.

5- Amostragem
Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos que através de cálculos probabilísticos ou não, consigam prover dados inferenciais da população-alvo.

Tipos de Amostragem	Não Probabilística
	Acidental ou conveniência
	Intencional
	Quotas ou proporcional
	Desproporcional
	Probabilística
	Aleatória Simples
	Aleatória Estratificada
	Conglomerado

Não Probabilística
A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagem frente ao método probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção por este método. Fonseca (1996), alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos na amostra para o todo da população quando se opta por este método de amostragem.

5.1- Acidental ou conveniência
Indicada para estudos exploratórios. Freqüentemente utilizados em super mercados para testar produtos.
Intencional
O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por exemplo, quando de um estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas oficinas.

5.2- Quotas ou proporcional
Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter um prévio conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistar apenas indivíduos da classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para o trabalho. Comumente também substratifica-se uma quota obedecendo a uma segunda proporcionalidade.

5.3- Desproporcional
Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. Atribui-se pesos para os dados, e assim obtém-se resultados ponderados representativos para o estudo.

Exemplo 3:

Em um mercado de telefones celulares, considerando uma fatia de mercado meramente ilustrativa, obteve-se os resultados conforme descritos a seguir:

Marcas	Participação no mercado	Elementos da Amostra
Marcas	Participação no mercado	n	%
Nokia	60%	50	25%
Ericson	20%	50	25%
Gradiente	15%	50	25%
Philips	05%	50	25%
Total	100%	200	100%

Objetivando obtermos os pesos a serem atribuídos a cada marca de telefone celular, para uma análise conjunta de todas as marcas no exemplo acima, obtemos os seguintes coeficientes:

Marcas	Pesos	Número de elementos a serem entrevistados
Nokia	2,4	120
Ericson	0,8	40
Gradiente	0,6	30
Philips	0,2	10
Total	4,0	200

Probabilística

Para que se possa realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe com amostragem probabilística. É o método que garante segurança quando investiga-se alguma hipótese. Normalmente os indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de ser selecionado na amostra.

5.4- Aleatória Simples
É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao processo de amostragem. Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e nomeia-se os indivíduos, sorteando-se um por um até completar a amostra calculada
Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de exemplos, o pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, tem-se os indivíduos dispostos em seqüência o que dificulta a aplicação exata desta técnica.
Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas por exemplo, há uma regra crescente para os números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela amostra e obtém-se um coeficiente (y). A primeira casa será a de número x, a segunda será a de número x + y; a terceira será a de número x + 3. y.
Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será 3 + 6. O terceiro será 3 + 2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente.
Aleatória Estratificada
Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. Estratifica-se cada subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, idade, sexo, entre outros.

5.5- Conglomerado
Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nesta modalidade de amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o conjunto. É exemplo de amostragem por conglomerado, famílias, organizações e quarteirões.

6- Dimensionamento da amostra

Quando deseja-se dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-se em três etapas distintas:

Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa;
Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal;
Verificar se a população é finita ou infinita;

Variável intervalar e população infinita
Variável intervalar e população finita
Variável nominal ou ordinal e população infinita
Variável nominal ou ordinal e população finita

Obs.: A proporção (p) será a estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis escolhidos para a variável adotada. Por exemplo, 60% dos telefones da amostra é Nokia, então p será 0,60.
A proporção (q) será sempre 1 - p. Neste exemplo q, será 0,4. O erro é representado por d.
Para casos em que não se tenha como identificar as proporções confere-se 0,5 para p e q.

7- Tipos de dados

Basicamente os dados, dividem-se em contínuos e discretos. O primeiro é definido como qualquer valor entre dois limites quaisquer, tal como um diâmetro. Portanto trata-se de um valor que ser "quebrado". São dados contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos, vendas, faturamento, entre muitas outras.
Quando fala-se em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal como quantidade de peças defeituosas. Comumente utiliza-se este tipo de variáveis para tratar de numero de filhos, satisfação e escalas nominais no geral.
O tipologia dos dados determina a variável, ela será portanto contínua ou discreta. Isto quer dizer que ao definir-se uma variável com contínua ou discreta, futuramente já definiu-se que tipo de tratamento se dará a ela.
De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística distinguem-se essencialmente duas fases:
Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra:
Estatística Descritiva e uma segunda fase em que se procura tirar conclusões para a população:

1ª Fase Estatística Descritiva
Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as propriedades.
2ª Fase Estatística Indutiva
Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra), expressas por meio de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na população).

No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer que são falsas ou verdadeiras, já que foram verificadas sobre um conjunto restrito de indivíduos, e portanto não são falsas, mas não foram verificadas para todos os indivíduos da População, pelo que também não podemos afirmar que são verdadeiras !
Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é medido em termos de Probabilidade.
Considerando o que foi dito anteriormente sobre a Estatística Indutiva, precisamos aqui da noção de Probabilidade, para medir o grau de incerteza que existe, quando tiramos uma conclusão para a população, a partir da observação da amostra.

Exemplo 4:

Uma empresa fabricante de um automóvel, pretende avaliar a potencialidade do mercado, estimando através de um mercado teste.
Através de1000 entrevistados, pretende-se verificar como se comportará a fatia de intenção de votos para determinado candidato.
Problema: pretende-se, a partir da percentagem de respostas afirmativas, de entre os inquiridos sobre a compra do novo produto, obter uma estimativa do número de compradores na População.

8- Dados, tabelas e gráficos

Distribuição de freqüência
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o número de indivíduos pertencentes a cada classe.

1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto:
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações:
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações:
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20.
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe:
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior)

Exemplo 5:

5,1	5,3	5,3	5,6	5,8	5,9	6	6,1	6,2	6,2
6,3	6,3	6,3	6,4	6,4	6,4	6,5	6,5	6,6	6,7
6,7	6,8	6,8	6,9	6,9	7	7,1	7,1	7,2	7,2
7,3	7,4	7,5	7,5	7,6	7,6	7,6	7,7	7,7	7,8
7,8	7,9	7,9	8	8	8,1	8,2	8,3	8,4	8,5
8,5	8,6	8,7	8,8	8,9	8,9	9	9,1	9,2	9,4
9,4	9,5	9,5	9,6	9,8	9	9	10	10,2	10,2
10,4	10,6	10,8	10,9	11,2	11,5	11,8	12,3	12,7	14,9

Regras para elaboração de uma distribuição de freqüências
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto:
Valor mínimo: 5,1
Valor máximo: 14,9
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações:
LI: 5,1
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações:
LS:15
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar compreendido entre 5 a 20. Neste caso, K é igual a 8,94, aproximadamente, 8.
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe:

No exemplo, a será igual a:
1,23
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e superior), onde limite Inferior será 5,1 e o limite superior será 15 + 1,23.

Intervalo de Classe	Freqüência Absoluta	Freqüência Acumulada	Freqüência Relativa
05,10 a 06,33	13	13	16,25%
06,34 a 07,57	21	34	26,25%
07,58 a 08,81	22	56	27,50%
08,82 a 10,05	15	71	18,75%
10,06 a 11,29	4	75	5,00%
11,30 a 12,53	3	78	3,75%
12,54 a 13,77	1	79	1,25%
13,78 a 15,01	1	80	1,25%
	80		100%

Distribuições simétricas
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe média

Caso especial de uma distribuição simétrica
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que distribuem-se em forma de sino.

Distribuições Assimétricas
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:

Distribuições com "caudas" longas
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados na região central da distribuição.

9- Medidas de tendência Central

As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.

Medidas
Média aritmética
Média aritmética para dados agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana	1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda	Valor que ocorre com mais freqüência.
Média geométrica
Média harmônica
Quartil

Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais freqüência nas aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).
A média possui uma particularidadebastante interessante, que consiste no seguinte:
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o resultado obtido é igual a zero.
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações:
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.

9.1- Moda

Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais freqüência se os dados são discretos, ou, o intervalo de classe com maior freqüência se os dados são contínuos.
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a classe modal
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes a mediana.

9.2- Mediana

A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo:
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos:
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio.
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.

9.3-Considerações a respeito de Média e Mediana
Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n , ... , Xn:n
então uma expressão para o cálculo da mediana será:
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.
1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem.
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.

Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado utilizar a mediana.

A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados:
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que a mediana
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à mediana.

10 - Medidas de dispersão

Introdução
No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de dados. Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através das seguintes medidas:

10.1- Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.

10.2- Variância
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra menos um.

10.3- Desvio-padrão
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão:
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a dispersão dos dados.
Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados.

Exemplo 7:

Em uma turma de aluno, verificou-se através da análise das notas de 15 alunos, os seguintes desempenhos:

Alunos	Conceito na Prova
1	4,3
2	4,5
3	9
4	6
5	8
6	6,7
7	7,5
8	10
9	7,5
10	6,3
11	8
12	5,5
13	9,7
14	9,3
15	7,5
Total	109,8
Média	7,32
Desvio Padrão	1,77

Observamos no exemplo, que a média das provas, foi estimada em 7,32 com desvio padrão em 1,77. Concluimos que a maioria das notas concentrou-se em 9,09 e 5,55.

11. Distribuição Normal

A distribuição normal é a mas importante distribuição estatística,
considerando a questão prática e teórica. Já vimos que esse tipo de distribuição apresenta-se em formato de sino, unimodal, simétrica em relação a sua média.
Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos.

68,26% => 1 desvio
95,44% => 2 desvios
99,73% => 3 desvios

Na figura acima, tem as barras na cor marrom representando os desvios padrões. Quanto mais afastado do centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. A um desvio padrão, temos 68,26% das observações contidas. A dois desvios padrões, possuímos 95,44% dos dados comprendidos e finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir que quanto maior a variablidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal.
Propriedade 1:
"f(x) é simétrica em relação à origem, x = média = 0;
Propriedade 2:
"f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39;
Propriedade3:
"f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito;
Propriedade4:
"f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média - DP, ou quando z tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e -1.
Para se obter a probabilidade sob a curva normal, utilizamos a tabela de faixa central

Tabela normal
(distribuição z)

z	.00	.01	.02	.03	.04	.05	.06	.07	.08	.09
-4.0	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00003	0.00002	0.00002	0.00002	0.00002
-3.9	0.00005	0.00005	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00004	0.00003	0.00003
-3.8	0.00007	0.00007	0.00007	0.00006	0.00006	0.00006	0.00006	0.00005	0.00005	0.00005
-3.7	0.00011	0.00010	0.00010	0.00010	0.00009	0.00009	0.00008	0.00008	0.00008	0.00008
-3.6	0.00016	0.00015	0.00015	0.00014	0.00014	0.00013	0.00013	0.00012	0.00012	0.00011
-3.5	0.00023	0.00022	0.00022	0.00021	0.00020	0.00019	0.00019	0.00018	0.00017	0.00017
-3.4	0.00034	0.00032	0.00031	0.00030	0.00029	0.00028	0.00027	0.00026	0.00025	0.00024
-3.3	0.00048	0.00047	0.00045	0.00043	0.00042	0.00040	0.00039	0.00038	0.00036	0.00035
-3.2	0.00069	0.00066	0.00064	0.00062	0.00060	0.00058	0.00056	0.00054	0.00052	0.00050
-3.1	0.00097	0.00094	0.00090	0.00087	0.00084	0.00082	0.00079	0.00076	0.00074	0.00071
-3.0	0.00135	0.00131	0.00126	0.00122	0.00118	0.00114	0.00111	0.00107	0.00103	0.00100
-2.9	0.00187	0.00181	0.00175	0.00169	0.00164	0.00159	0.00154	0.00149	0.00144	0.00139
-2.8	0.00256	0.00248	0.00240	0.00233	0.00226	0.00219	0.00212	0.00205	0.00199	0.00193
-2.7	0.00347	0.00336	0.00326	0.00317	0.00307	0.00298	0.00289	0.00280	0.00272	0.00264
-2.6	0.00466	0.00453	0.00440	0.00427	0.00415	0.00402	0.00391	0.00379	0.00368	0.00357
-2.5	0.00621	0.00604	0.00587	0.00570	0.00554	0.00539	0.00523	0.00508	0.00494	0.00480
-2.4	0.00820	0.00798	0.00776	0.00755	0.00734	0.00714	0.00695	0.00676	0.00657	0.00639
-2.3	0.01072	0.01044	0.01017	0.00990	0.00964	0.00939	0.00914	0.00889	0.00866	0.00842
-2.2	0.01390	0.01355	0.01321	0.01287	0.01255	0.01222	0.01191	0.01160	0.01130	0.01101
-2.1	0.01786	0.01743	0.01700	0.01659	0.01618	0.01578	0.01539	0.01500	0.01463	0.01426
-2.0	0.02275	0.02222	0.02169	0.02118	0.02067	0.02018	0.01970	0.01923	0.01876	0.01831
-1.9	0.02872	0.02807	0.02743	0.02680	0.02619	0.02559	0.02500	0.02442	0.02385	0.02330
-1.8	0.03593	0.03515	0.03438	0.03362	0.03288	0.03216	0.03144	0.03074	0.03005	0.02938
-1.7	0.04456	0.04363	0.04272	0.04181	0.04093	0.04006	0.03920	0.03836	0.03754	0.03673
-1.6	0.05480	0.05370	0.05262	0.05155	0.05050	0.04947	0.04846	0.04746	0.04648	0.04551
-1.5	0.06681	0.06552	0.06425	0.06301	0.06178	0.06057	0.05938	0.05821	0.05705	0.05592
-1.4	0.08076	0.07927	0.07780	0.07636	0.07493	0.07353	0.07214	0.07078	0.06944	0.06811
-1.3	0.09680	0.09510	0.09342	0.09176	0.09012	0.08851	0.08691	0.08534	0.08379	0.08226
-1.2	0.11507	0.11314	0.11123	0.10935	0.10749	0.10565	0.10383	0.10204	0.10027	0.09852
-1.1	0.13566	0.13350	0.13136	0.12924	0.12714	0.12507	0.12302	0.12100	0.11900	0.11702
-1.0	0.15865	0.15625	0.15386	0.15150	0.14917	0.14686	0.14457	0.14231	0.14007	0.13786
-0.9	0.18406	0.18141	0.17878	0.17618	0.17361	0.17105	0.16853	0.16602	0.16354	0.16109
-0.8	0.21185	0.20897	0.20611	0.20327	0.20045	0.19766	0.19489	0.19215	0.18943	0.18673
-0.7	0.24196	0.23885	0.23576	0.23269	0.22965	0.22663	0.22363	0.22065	0.21769	0.21476
-0.6	0.27425	0.27093	0.26763	0.26434	0.26108	0.25784	0.25462	0.25143	0.24825	0.24509
-0.5	0.30853	0.30502	0.30153	0.29805	0.29460	0.29116	0.28774	0.28434	0.28095	0.27759
-0.4	0.34457	0.34090	0.33724	0.33359	0.32997	0.32635	0.32276	0.31917	0.31561	0.31206
-0.3	0.38209	0.37828	0.37448	0.37070	0.36692	0.36317	0.35942	0.35569	0.35197	0.34826
-0.2	0.42074	0.41683	0.41293	0.40904	0.40516	0.40129	0.39743	0.39358	0.38974	0.38590
-0.1	0.46017	0.45620	0.45224	0.44828	0.44433	0.44038	0.43644	0.43250	0.42857	0.42465
-0.0	0.50000	0.49601	0.49202	0.48803	0.48404	0.48006	0.47607	0.47209	0.46811	0.46414

Exemplo 8:

As alturas de grupo de crianças são tidas como normais em sua distribuição, com desvio padrão em 0,30m e média em 1,60. Qual a probabilidade de um aluno medir (1) entre 1,50 e 1,80, (2) mais de 1,75 e menos de 1,48?
(1)
z1= (1,50-1,60)/0,30=-0,33
z2= (1,80-1,60)/0,30= 0,67
Então, z1 (0,1293) + z2 (0,2486) = 37,79%
(2)
z1= (1,75-1,60)/0,30=0,30
0,500-0,1915 = 30,85%
(3)
Z1= (1,48-1,50)/0,30 =-0,4
0,500-0,1554 = 34,46%

Exercícios

1. Supondo que a variável escolhida de um pesquisa, seja nominal e a população finita de 600 indivíduos (onde 60% dos indivíduos são mulheres). Deseja-se trabalhar com um alpha de 5% e um erro amostral de 7%. Calcule o tamanho da amostra.

2. Organize os dados abaixo em uma tabela de distribuição de freqüência, contendo o intervalo de classe, a freqüência absoluta, a freqüência acumulada, a freqüência relativa e a freqüência relativa acumulada.

20,4	22,3	23,1	23,5	23,8	24,1	24,3	24,3	24,6
26,0	25,0	25,1	25,3	25,3	25,4	25,6	25,7	25,8
26,0	26,1	26,2	26,2	26,3	26,5	26,6	26,7	26,8
27,1	27,1	27,3	25,7	27,7	27,9	28,0	28,3	28,7

3. Três arremessadores de disco, treinam para a Olimpíada. Os atletas arremessam seus discos a 66 metros de distância (em média), com desvio padrão de 6,1 metros.
Qual a probabilidade de um atleta lançar seu disco entre 64 e 67 metros?

4. Foi encomendado um estudo para avaliação de uma entidade de ensino superior. Para isso, aplicou-se um questionário e obteve-se respostas de 110 alunos.
Indique:
a) a variável em estudo;
c) a população em estudo;
b) a amostra escolhida;
5. Indique abaixo quais amostras são consideradas boas:
a) Em um cinema, desejou-se verificar quais eram as intenções de voto para a próxima eleição. As pessoas entrevistadas, eram as que estavam presentes
b) Para saber a opinião a respeito de métodos contraceptivos, resolveu-se aplicar um estudo em uma escola de ensino fundamental, junto aos alunos.

5. Em uma pesquisa realizada em uma escola, identificou-se os seguintes indicadores

(1) idade
(2) anos de estudo
(3) ano de escolaridade
(4) renda
(5) sexo
(6) local de estudo
(7) conceito obtido na última prova de biologia
(8) Quantidade de livros que possui

a) Das variáveis acima, quais são as quantitativas e quais são as qualitativas?
b) Das variáveis quantitativas, diga quais são discretas?

6. Porque se realiza na Estatística, o estudo descritivo?

7. Num quartel, constatou-se que o peso médio de 40 soldados era de 69 Kilos. Posteriormente, verificou-se que a balança estava desregulada, ocasionando um peso indicado superior em 15 gramas ao peso verdadeiro. Qual era a média verdadeira dos pesos dos soldados?

8. Ao procurar emprego, um determinado cidadão, teve que optar por duas ofertas dispostas em um classificados. Qual a que representa a melhor opção? Porque?

	Oferta 1	Oferta 2
Média Salarial	890,00	950,00
Mediana	800,00	700,00
Desvio Padrão	32,00	38,00

9. Um produto pesa, em média, 10g, com desvio-padrão de 2 g. É embalado em caixas com 50 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam 500g, com desvio-padrão de 25g. Admitindo-se uma distribuição normal dos pesos e independência entre as variáveis dos pesos do produto e da caixa, calcular a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais de 1050g.

Utilize a figura acima para o desenvolvimento da questão, onde a primeira repartição, à direita, representa a probabilidade da caixa pesar 1050g.

Fonte: www.somatematica.com.br

Jogos Matemáticos

2009-07-05T06:15:00.000-07:00

Jogos Matemáticos.
Matemática não dói.

Reportagem extraída do Jornal "Estado de Minas" de 05 de abril de 2003 - Caderno Gurilândia

Números positivos e negativos, equações e figuras geométricas. Nem todos os alunos
consideram o estudo da matemática um pesadelo. Em algumas escolas, as aulas dessa disciplina - que já assustou muitos estudantes - tem se tornado momentos de descobertas e diversão. O quadro-negro cedeu espaço a jogos de todos os tipos que desafiam meninos e meninas de várias idades. O que começa com uma simples competição entre os colegas, termina ensinando
conceitos e formas deferentes de raciocínio.

Na escola da serra, não existe problema matemático que seja difícil demais para os alunos. "gosto de todos os conteúdos e, principalmente, de somar. Não me lembro de ter estudado nenhuma matéria difícil", explica Paula Resende, de 6 anos. Para Letícia Rocha, de sete, aprender jogando é mais fácil. "Durante os jogos, temos que pensar bastante e fazer várias contas", explica. Ubiratan Machado, também de sete, acredita que os jogos facilita o aprendizado, tornando-o mais divertido. 'A gente joga e só depois percebe que está aprendendo", descreve Bruno Vilela , de sete.

Os professores defendem o uso de novos recursos para o ensino da disciplina.
"Ao participar das competições, o aluno vai descobrindo os conceitos e registrando os resultados
no caderno. Não basta dizer a resposta certa, é preciso descrever que raciocínio foi adotado", explica a professora do 1º ano do 1º ciclo da Escola da Serra, Denise Vitarelli. A professora
Maguy Sales, que dá aula para a mesma série, lembra que as aulas tradicionais são mais fáceis.
"Se a proposta é diferenciada, a aula tem outro ritmo", afirma. (FR)

Pouco a pouco, a estratégia de utilizar jogos no ensino da matemática vem conquistando adeptos.
Em breve, as competições matemáticas devem chegar as escolas públicas. Na PUC-Betim, os estudantes do curso de matemática trabalham durante vários períodos na criação de jogos pedagógicos, que facilitam o ensino da disciplina.

A proposta foi tão bem sucedida que deve ser implantada em algumas escolas pública do município. "Investigamos quis o recursos didáticos existente para o ensino da geometria para estudantes
cegos. Criamos uma caixa de madeira, onde o aluno pode aprender sobre ângulo, triângulo, circunferência, raio, funções e gráfico. Fizemos alterações na caixa e descobrimos que ela serve para
ensinar geometria a qualquer estudante", descreve a aluna do 7º período do curso de matemática, Poliana Januário, que desenvolve
o projeto com outros cinco colegas.
Outro grupo, do 5º período do mesmo curso, desenvolveu os jogos laranja na cesta e corridas de carro para ensinar os conteúdos de matemática a alunos á partir dos quatro anos. " O aluno joga
um dado que determina quantas laranjas tem que ser retirada da cesta. Ele aprende sobre quantidades e a fazer somas e subtrações", explica Ângela Maria Ribeiro, que desenvolveu o projeto em parceria com Lorena Darós Silva. Na corrida, o aluno só tem autorização para
avançar com seu carro se acertar a pergunta feita pela professora. " Para o aluno, o jogo é uma forma de visualizar o conteúdo aprendido", detalha Ângela. (FR)

O Departamento de Matemática da UFMG tem um laboratório cheio de jogos matemáticos.
Todos os meses, a Universidade recebe alunos de várias escolas. - públicas e particulares - para
uma aula diferente e mais divertida. "A escola fornece a idade dos alunos e montamos a visita. Todos os jogos são montados com materiais baratos. Ou seja, o professor pode levar a
experiência para dentro de sala. Pelos jogos, identificamos que linguagem os alunos utilizam para aprender. A participação nas aulas é muito boa", explica a coordenadora do projetos Visitas Programadas ao Laboratório de Ensino de Matemática da UFMG, Maria Cristina Costa Ferreira. Ela afirma que não é possível ensinar toda a matemática apenas pelos jogos. "Há um momento
que precisamos fazer a síntese do que foi ensinado, orienta.

Os alunos aprovam as inovações. "É bem melhor aprender assim. A gente aprende quando copia
do quadro, mas não é tão divertido", afirma Ana Cristina Landó, de 11 anos, estudante da 6ª série
do Centro Pedagógico da UFMG. Para Matheus Lima, , de 12, da mesma sala, o jogo exige que
o aluno se dedique mais ao aprendizado.

"A gente aprende muito mais. No jogo somos pressionado e precisamos nos esforçar para dar a resposta", diz Gustavo Aleixo, de 12. Já Rafaela Bessone, de 12, acredita que o jogo traz mais desafios, chamando a atenção dos alunos.. "O jogo é difícil. Só que aprender copiando a matéria
no quadro é pior. Assim fica mais interessante", comenta Gabriela Torrésia Lima, da mesma idade. Maria Cristina afirma que, a matemática está sendo ensinada de forma mais contextualizada.
"Em muitas escolas, os conteúdos são vistos juntos com outras matérias. Isso aumenta o prazer
da aprendizagem", defende.(FR)

Trilha

Os próprios alunos criam um tabuleiro, com os obstáculos e a história. O jogo ensina seqüência numérica, ordem crescente e decrescente, contagem e quantificação.

Bingo

Nas cartelas tradicionais, o aluno aprende a ler os números. Durante o sorteio, o professor pode anunciar os números de forma diferenciada, falando sobre dezenas, unidades,antecessores e sucessores, ou exigindo algum tipo de operação para a descoberta do numero sorteado.

Batalha Dupla

Cada aluno retira duas cartas de um baralho tradicional. Elas devem ser somadas ou subtraídas, conforme a orientação do professor. Quem tiver o maior resultado ganha a carta do colega.
Vence o jogo quem tiver mais pontos, somados no final da competição.

Atrás da Orelha

O jogo tem dois jogadores e um juiz. Os jogadores retiram uma carta do baralho, sem ver qual é o seu número. A carta deve ser colocada atrás da orelha para que apenas o outro jogador veja seu número. Cabe ao juiz dizer qual o resultado da soma ou da subtração das duas cartas. Para vencer, o jogador vê a carta do colega e precisa raciocinar para descobrir qual é a sua.

Poliminó

É uma espécie de quebra-cabeça formado por várias figuras geométricas, criadas á partir de monominós, que são unidades-padrão. Para montar o poliminó, o aluno precisa pensar no conceito de área
e perímetro de uma figura plana.

Torre de Hanói

Jogo milenar que utiliza um tabuleiro de madeira, com pequenas torres e aros de diversos
tamanhos. Para vencer o desafio - que pode ser o tempo gasto para colocar aros em determina ordem nas torres - o aluno faz estimativas e raciocina sobre múltiplos, potências e equações.
O jogo serve também para organizar o pensamento.

Policubos

O jogo é semelhante ao poliminó, mas o quebra-cabeça é uma espécie de cubo. Nesse jogo, o
aluno estuda o volume das figuras.

Corrida Algébrica

Na corrida algébrica, o aluno vai avançar com seu pino no tabuleiro depois de descobrir qual é o resultado de uma equação. O próprio aluno pode escolher que valor deseja atribuir á variável,
de forma a conseguir o resultado maior.

Tangran

O jogo tem várias peças, com tamanhos variados. O aluno estuda área, polígono, perímetro e
até frações.

Jogo da Estrela

Cada aluno retira um número positivo ou negativo do tabuleiro. Vence quem obter o maior
resultado, depois de fazer a soma dos números escolhidos. Nesse jogo, os estudantes aprendem
a soma dos números negativos e positivos, ordem e conceito de oposto.

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 17

2009-07-03T17:55:00.001-07:00

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:

1859	Número sem o último algarismo
-40	Cinco vezes o último algarismo
1819	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

181	Número sem o último algarismo
-45	Cinco vezes o último algarismo
136	Diferença

Repete-se o processo com este último número.

13	Número sem o último algarismo
-30	Cinco vezes o último algarismo
-17	Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 16

2009-07-03T17:54:00.000-07:00

Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.

Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 15

2009-07-03T17:48:00.000-07:00

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.

Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Sistemas Lineares

2009-07-03T17:14:00.000-07:00

Sistemas Lineares

Equação linear

Equação linear é toda equação da forma:

a₁x₁ + a₂x₂+ a₃x₃ + ... + a_nx_n = b

em que a₁, a₂, a₃, ... , a_n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

x₁, x₂,x₃, ... , x_n, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Veja alguns exemplos de equações lineares:

3x - 2y + 4z = 7	-2x + 4z = 3t - y + 4
(homogênea)

As equações a seguir não são lineares:

xy - 3z + t = 8

x²- 4y = 3t - 4

Sistema linear

Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r₁, r₂, r₃,..., r_n) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

Matrizes associadas a um sistema linear

A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Em relação ao sistema:

a matriz incompleta é:

matriz completa: matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sitema.

Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

Sistemas homogêneos

Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

Veja um exemplo:

A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:

a) possível e determinado (solução única);
b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
c) impossível (não tem solução).

Sistema normal

Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D_xié o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

a) possível e determinado, se D=det A0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

b) possível e indeterminado, se D= D_x1= D_x2 = D_x3 = ... = D_xn= 0, para n=2. Se n3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

D=0, D_x=0, D_y=0 e D_z=0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c) impossível, se D=0 e D_xi0, 1 in; caso em que o sistema não tem solução.

Exemplo:

Como D=0 e D_x0, o sistema é impossível e não apresenta solução.

Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.

Por exemplo, dados os sistemas:

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S₁e S₂são equivalentes: S₁ ~ S_2.

Propriedades

a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Por exemplo:

S₁~S₂

b) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior. Por exemplo:

S₁~S₂

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k ( K IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.

Por exemplo:

Dado , substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:

S₁~S₂, pois (x,y)=(2,1) é solução de ambos os sistemas.

Sistemas escalonados

Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.

Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:

a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero.

b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:

I. O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1:

1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:

Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:

Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação:

Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.

-2z=-6 z=3

Substituindo z=3 em (II):

-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1

Substituindo z=3 e y=-1 em (I):

x + 2(-1) + 3= 3 x=2

Então, x=2, y=-1 e z=3

Exemplo 2:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -3 com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3º equação:

Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3º equação:

Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z=-2, o sistema é impossível.

II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m <>

Exemplo:

1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1º incógnita a partir da 2º equação:

Trocamos a 2º equação pela soma do produto da 1º equação por -2 com a 2º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 1º equação por -1 com a 3º equação:

2º passo: Anulamos os coeficientes da 2º incógnita, a partir da 3º equação:

Trocamos a 3º equação pela soma do produto da 2º equação por -3 com a 3º equação

O sistema está escalonado. Como mgrau de indeterminação (GI):

GI= n - m

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:

GI = n-m = 4-3 = 1

Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t=, substituindo esse valor na 3º equação, obtemos:

12z - 6= 3012z= 30 + 6 =

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2º equação:

Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1º equação:

Assim, a solução do sistema é dada por S=, com IR.

Para cada valor que seja atribuído a , encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.

Fonte: www.somatematica.com.br

Determinantes

2009-07-03T17:10:00.000-07:00

Determinantes

Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo nxn).

A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:

resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinante de 1ª ordem

Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a₁₁], o seu determinante é o número real a₁₁:

det M =Ia₁₁I = a₁₁

Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Por exemplo:

M= [5] det M = 5 ou I 5 I = 5

M = [-3] det M = -3 ou I -3 I = -3

Determinante de 2ª ordem

Dada a matriz , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por:

Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja o exemplo a seguir.

Menor complementar

Chamamos de menor complementar relativo a um elemento a_ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o determinante MC_ij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a_ij .

Vejamos como determiná-lo pelos exemplos a seguir:

a) Dada a matriz , de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a₁₁(MC₁₁), retiramos a linha 1 e a coluna 1:

Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a₁₂ é:

b) Sendo , de ordem 3, temos:

Cofator

Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento a_ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A_ijtal que A_ij = (-1)^i+j . MC_ij .

Veja:

a) Dada , os cofatores relativos aos elementos a₁₁ e a₁₂ da matriz M são:

b) Sendo , vamos calcular os cofatores A₂₂, A₂₃ e A₃₁:

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz quadrada M = [a_ij]_mxn pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando , temos:

em que é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, .

Regra de Sarrus

O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para .

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:

2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):

3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):

Assim:

Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3

Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Propriedades dos determinantes

Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P₁ ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P₂) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₃) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₄) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

P₅ ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

P₆) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

P₇) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P₈) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo:

P₉) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos:

P₁₀) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .

Exemplos:

P₁₁) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:

Exemplo:

P₁₂)

Exemplo:

Fonte: www.somatematica.com.br

Matriz

2009-07-03T16:59:00.000-07:00

Matrizes

Introdução

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

	Química	Inglês	Literatura	Espanhol
A	8	7	9	8
B	6	6	7	6
C	4	8	5	9

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

Veja mais alguns exemplos:

é uma matriz do tipo 2 x 3
é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral

Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [a_ij]_{m x n}, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a₂₃ é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

Na matriz , temos:

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a₁₁= -1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2 e a₁₄ = 5.

Denominações especiais

Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1
Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a_ijtais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

Veja:

Observe a matriz a seguir:

a₁₁ = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a₃₁= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3 + 1 = 3 + 1)

Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0_{m x n.}

Por exemplo, .

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por I_n, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .

Matriz transposta: matriz A^t obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A^t é do tipo n x m.

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A^t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A^t.

Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = A^t . Por exemplo,

é simétrica, pois a₁₂ = a₂₁ = 5, a₁₃= a₃₁ = 6, a₂₃ = a₃₂ = 4, ou seja, temos sempre a _ij = a _ij.

Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, .

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

Operações envolvendo matrizes

Adição

Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que C_ij = a_ij + b_ij , para todo :

A + B = C

Exemplos:

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

Multiplicação de um número real por uma matriz

Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b_ij = xa_ij:

B = x.A

Observe o seguinte exemplo:

Propriedades

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

Multiplicação de matrizes

O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.

Assim, o produto das matrizes A = ( a_ij) _{m x p} e B = ( b_ij) _{p x n} é a matriz C = (c_ij)_{m x n} em que cada elemento c_ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.

Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada C_ij:

1ª linha e 1ª coluna

1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna

2ª linha e 2ª coluna

Assim, .

Observe que:

Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

Vejamos outro exemplo com as matrizes :

Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:

A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n):

Se A_{3 x 2} e B _{2 x 5} , então ( A . B ) _{3 x 5}
Se A _{4 x 1} e B _{2 x 3}, então não existe o produto
Se A _{4 x 2} e B _{2 x 1}, então ( A . B ) _{4 x 1}

Propriedades

Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )

b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C

c) elemento neutro: A . I_n= I_n . A = A, sendo I_n a matriz identidade de ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 _{m x n} uma matriz nula, A .B =0 _{m x n} não implica, necessariamente, que A = 0 _{m x n} ou B = 0 _{m x n}.

Matriz inversa

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = I_n , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A^-1 .

Fonte: www.somatematica.com.br

Conjuntos

2009-07-03T08:59:00.000-07:00

a) Conjuntos

A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:

Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
Conjunto dos números inteiros pares;
Conjunto dos dias da semana;
Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.

b) Elemento

Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:

V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
2, 4, 6 são elementos do segundo;
Sábado, Domingo do terceiro; e
FHC, Lula do último.

c) Pertinência entre elemento e conjunto

Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.

Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.

Notação

Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …

Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …

Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:

Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração

Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.

Exemplos:

Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos

Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.

Exemplos:

A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
B = {x | x é um número inteiro par e 8 <>
C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn

Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).

O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.

Exemplos de Conjuntos Unitários:

Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

{x | x > 0 e x <>
Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
{x | x² = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.

Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.

Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:

Observações:

A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
{a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:

onde a notaçãosignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:

Exemplos:

{1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Ø C {a, b};
{a, b} C {a, b};
{a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A.

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:

Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E - P(E) - o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:

Exemplos:

Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2^n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2³, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 2² e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2¹.

Reunião ou União

Consideremos os dois conjuntos:

A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}

Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:

C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:

A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.

Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:

Exemplos:

{1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
{n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:

Propriedades da União

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
Comutativa: A U B = B U A;
Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).

Demonstração da propriedade comutativa:

Da definição da união de conjuntos temos:

Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira.

Intersecção

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.

Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:

Exemplos:

Da definição de intersecção resulta que:

Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:

Propriedades da Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência:

2. Comutativa:

3. Elemento Neutro - O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:

4. Associativa:

Demonstração da propriedade associativa:

O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):

onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que:

Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso

Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Propriedades da União e Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:

Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.

Diferença

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.

Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

Exemplos:

{a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b}
{a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b}
{a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø

Antes de prosseguirmos apresento, a título de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro.

Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.

Complementar de B em A

Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A - B, e indicamos como:

Exemplos:

A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A - B = {c, d, e, f}
A = B = {1} => complementar: A - B = Ø

Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A).

Propriedades da Complementação

Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:

Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.

Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:

Símbolos Matemáticos

2009-07-03T08:21:00.001-07:00

TEORIA DOS CONJUNTOS

Símbolos

: pertence	: existe
: não pertence	: não existe
: está contido	: para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido	: conjunto vazio
: contém	N: conjunto dos números naturais
: não contém	Z : conjunto dos números inteiros
/ : tal que	Q: conjunto dos números racionais
: implica que	Q'= I: conjunto dos números irracionais
: se, e somente se	R: conjunto dos números reais

Símbolos das operações

: A intersecção B

: A união B

a - b: diferença de A com B

a <>

: a menor ou igual a b

a > b: a maior que b

: a maior ou igual a b

: a e b

: a ou b

Geometria Analitíca

2009-07-03T07:37:00.000-07:00

1 - Introdução

A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através de processos particulares , estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos .
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

1.1 - Coordenadas cartesianas na reta

Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.
Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.

O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A
é 1, etc.
A reta r é chamada eixo das abscissas.

1.2 - Coordenadas cartesianas no plano

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P.
O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo das ordenadas.
O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES.
No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.

Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OY é
x = 0.
Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja equação evidentemente é y = x.
Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x.
Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.

Exercícios Resolvidos

1) Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :

a) m é um número primo
b) m é primo e par
c) m é um quadrado perfeito
d) m = 0
e) m <>

Solução:
Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 2²).

2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :

a) r é um número natural
b) r = - 3
c) r é raiz da equação x³ - x² + x + 14 = 0
d) r é um número inteiro menor do que - 3 .
e) não existe r nestas condições .

Solução:
Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.
Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 ou seja:
(-2)³ - (-2)² + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação.

3) Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k ² é :

a) 200
b) 196
c) 144
d) 36
e) 0

Solução:
Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0.
Logo, k = 14 e portanto k² = 14² = 196.
Logo, a alternativa correta é a letra B.

2 - Fórmula da distância entre dois pontos do plano cartesiano

Dados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontos A e B:

Esta fórmula também pode ser escrita como: d²_AB = (X_b - X_a)² + (Y_b - Y_a)² , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.

Exercício Resolvido

O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :

a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)

Solução:
Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB² + AC² = BC² (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:

AB² = ( 0 - 2 )² + ( y - 3 )² = 4 + ( y - 3 )²AC² = ( 0 - (-4))² + ( y - 1)² = 16 + ( y - 1 )²BC² = ( 2 - (-4))² + ( 3 - 1 )² = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )² + 16 + ( y - 1 )² = 40 \ ( y - 3 )² + ( y - 1)² = 40 - 4 - 16 = 20

Desenvolvendo, fica: y² - 6y + 9 + y² - 2y + 1 = 20 \ 2y² - 8y - 10 = 0 \ y² - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.

3 - Ponto médio de um segmento

Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M Î AB tal que AM = BM .
Nestas condições, dados os pontos A(x₁, y₁) e B(x₂ , y₂) , as coordenadas do ponto médio
M(x_m , y_m) serão dadas por:

Exercício Resolvido

Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W² é igual a:

a) 25
b) 32
c) 34
d) 44
e) 16

Solução:
Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34 ou seja raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e portanto W² = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.

4 - Baricentro de um triângulo

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).
Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(x_g, y_g) do triângulo ABC onde A(x_a , y_a) , B(x_b , y_b) e C(x_c , y_c) é dado por :

Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.

Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.

Exercício resolvido

Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?

Solução:
Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela fórmula do baricentro:
3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3
Daí, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z será portanto Z(11, 4).
Usando a fórmula da distância entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e Z(11,4),
encontraremos BZ = 65^1/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).

1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica

1.1 - Área de um triângulo

Seja o triângulo ABC de vértices A(x_a , y_a) , B(x_b , x_c) e C(x_c , y_c) . A área S desse triângulo é dada por
S = 1/2 . | D | onde ½ D½ é o módulo do determinante formado pelas coordenadas dos vértices A , B e C .

Temos portanto:

A área S é normalmente expressa em u.a. (unidades de área)
Para o cálculo do determinante de terceira ordem, utilizamos a conhecida e prática regra de Sarrus.

1.2 - Condição de alinhamento de três pontos

Três pontos estão alinhados se são colineares , isto é , se pertencem a uma mesma reta .
É óbvio que se os pontos A , B e C estão alinhados , então o triângulo ABC não existe , e podemos pois considerar que sua área é nula ( S = 0 ) .
Fazendo S = 0 na fórmula de área do item 1.1 , concluímos que a condição de alinhamento dos 3 pontos é que o determinante D seja nulo , ou seja : D = 0 .

Exercício resolvido:

Se os pontos P(3 , 5) , Q(-3 , 8) e C(4 , y) são colineares , então o valor de y é :

a) 4
b) 3
c) 3,5
d) 4,5
e) 2

Solução:

Para que estes pontos estejam alinhados (pontos colineares), deveremos ter:

Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:
- 32 - 3y + 15 + 24 - 3y + 20 = 0 \ y = 9/2 = 4,5.
Portanto a alternativa correta é a letra D.

2 - Equação geral da reta.

Seja r a reta que passa pelos pontos A(x_a, y_a) e B(x_b , y_b).
Seja P(x , y) um ponto qualquer desta reta . Pela condição de alinhamento de 3 pontos , podemos escrever:

Desenvolvendo o determinante acima obtemos:
(Ya - Yb) . x + (Xa - Xb) . y + (XaYb - XbYa) = 0 .

Fazendo Ya - Yb = a , Xa - Xb = b e XaYb - XbYa = c , decorre que todo ponto P(x,y) pertencente à reta , deve verificar a equação :
ax + by + c = 0
que é chamada equação geral da reta r .

Exemplos:
2x + 5y - 4 = 0 (a = 2 , b = 5 , c = -4)
3x - 4y = 10 (a = 3 , b = -4 , c = -10); observe que podemos escrever 3x - 4y - 10 = 0.
3y + 12 = 0 (a = 0 , b = 3 , c = 12)
7x + 14 = 0 (a = 7 , b = 0 , c = 14)
x = 0 (a = 1 , b = 0 , c = 0) ordenadas .® equação do eixo Oy - eixo das
y = 0 (a = 0 , b = 1 , c = 0) ® equação do eixo Ox - eixo das abscissas .

Observações:
a) a = 0 ® y = - c/b (reta paralela ao eixo dos x )
b) b = 0 ® x = - c/a (reta paralela ao eixo dos y)

3 - Posição relativa de duas retas

Sabemos da Geometria que duas retas r e s no plano podem ser :

Paralelas : r Ç s = Æ
Concorrentes : r Ç s = { P } , onde P é o ponto de interseção .
Coincidentes : r = s.

Dadas as retas r : ax + by + c = 0 e s : a’x + b’y + c’ = 0 , temos os seguintes casos :

® as retas são coincidentes .

® as retas são paralelas .

as retas são concorrentes .

Exercícios resolvidos

1 - OSEC-SP - Qual a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 10 = 0 ?

Solução:
Temos que: 1 / 4 = 2 / 8 ¹ 3 / 10 (segundo caso acima) e, portanto as retas são paralelas.

2 - Dadas as retas r : 3x + 2y - 15 = 0 ; s : 9x + 6y - 45 = 0 e t : 12x + 8y - 60 = 0 , podemos afirmar:
a) elas são paralelas
b) elas são concorrentes
c) r Ç t Ç s = R
d) r Ç s Ç t = R²
e) as três equações representam uma mesma reta .

Solução:
Primeiro vamos verificar as retas r e s: 3 / 9 = 2 / 6 = -15 / -45 (primeiro caso acima) e portanto as
retas r e s são coincidentes.
Comparando agora, por exemplo a reta r com a reta t , teremos:
3 / 12 = 2 / 8 = -15 / -60 (primeiro caso acima);
Portanto as retas r, s e t são coincidentes, ou seja, representam a mesma reta.
Logo a alternativa correta é a letra E.

3) Para se determinar o ponto de interseção de duas retas , basta resolver o sistema de equações formado pelas equações das retas. Nestas condições , pede-se calcular as coordenadas do ponto de interseção das retas r : 2x + 5y - 18 = 0 e s : 6x - 7y - 10 = 0.

Solução:
Da equação da reta r tiramos: x = (18 - 5y) / 2 (eq. 1);
substituindo na equação da reta s vem:
6[(18-5y) / 2] - 7y -10 = 0 \ 54 - 15y - 7y - 10 = 0 \ 44 - 22y = 0 \ 44 = 22y \ y = 2;
substituindo o valor de y na eq. 1 fica: .x = (18 - 5.2) / 2 = 4.
Portanto o ponto de interseção é o ponto P(4,2).

Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F₁ e F₂ de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F₁ e F₂ é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF₁ + PF₂ = 2 a
Os pontos F₁ e F₂ são denominados focos e a distancia F₁F₂ é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse.
Como, por definição, a > c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.

2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c < a, como vimos acima, podemos escrever:
PF₁ + PF₂ = 2.a

onde o eixo A₁A₂ de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B₁B₂ de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.

Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.

Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a² – c² = b² , aexpressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b².x² + a².y² = a².b²
Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:

que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).

Notas:
1) como a² – c² = b² , é válido que: a² - b² = c², onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x² + 25y² – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 16x² + 25y² = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a² = 25 e b² = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a² = b² + c² , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.

2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação
9x² + 25y² = 225.

SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a²=25 e b²=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a² = b² + c², vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F₁(4,0) e F₂(-4,0).

3 – Determine a distancia focal da elipse 9x² +25y² – 225 =0.

SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento).

4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x² + 169y² = 4225.
Resposta: e = 12/13 e d_f = 2c = 24.

5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(-Ö 6 /2, 0).
Resposta: x² + 2y² = 3.

Hipérbole de centro na origem (0,0)

1 – Definição:

Dados dois pontos fixos F₁ e F₂ de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F₁ e F₂ é igual a um valor constante 2a , onde a < c.
Assim é que temos por definição:
½ PF₁ - PF₂ ½ = 2 a

Os pontos F₁ e F₂ são denominados focos e a distancia F₁F₂ é conhecida com distancia focal da hipérbole.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da hipérbole.
Como, por definição, a < c, concluímos que a excentricidade de uma hipérbole é um número positivo maior que a unidade.
A₁A₂ é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B₁B₂ é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na figura acima que é válida a relação:
c² = a² + b²
O ponto (0,0) é o centro da hipérbole.

2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso horizontal e centro na origem (0,0)

Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam F₁(c,0) e F₂(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante com c > a, como vimos acima, podemos escrever:
½ PF₁ - PF₂ ½ = 2 a
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:

Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:

Com bastante paciência e aplicando as propriedades corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b².x² - a².y² = a².b², onde b² = c² – a² , conforme pode ser verificado na figura acima.

Dividindo agora, ambos os membros por a²b² vem finalmente:

Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A₁A₂) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B₁B₂) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x² - 16y² – 400 = 0.

SOLUÇÃO: Temos: 25x² - 16y² = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:

Portanto, a² = 16 e b² = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como c² = a² + b² , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60
Resposta: 1,60.

2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação 25x² – 9y² = 225 .

SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem:

Daí, vem que: a²=9 e b²=25, de onde vem imediatamente: a=3 e b=5.
Portanto, c² = a² + b² = 9 + 25 = 34 e então c = Ö 34.
Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será igual a 2Ö 34.

3 – Determine as equações das assíntotas da hipérbole do exercício 1.
Resposta: y = (5/4).x ou y = (-5/4).x
NOTA: entende-se por assíntotas de uma hipérbole de centro na origem, como as retas que passam na origem (0,0) e tangenciam os dois ramos da hipérbole num ponto impróprio situado no infinito.
Dada a hipérbole de equação:

Prova-se que as assíntotas, são as retas de equações:
R₁: y = (b/a).x e R₂: y = -(b/a).x
Veja a figura abaixo:

1 - Introdução

Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição, obterá a seguinte definição para a parábola:
"Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um plano paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."

Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Os dicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também para conceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeição absoluta, o que, de uma certa forma, é bastante compreensível, uma vez que a eles, não cabe a responsabilidade pela precisão dos conceitos e definições matemáticas).

2 - Definição

Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).

Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2

3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem

Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'

Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:

Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y² = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.

3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x₀, y₀)

Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x₀, y₀), a equação acima fica:
(y - y₀)² = 2p(x-x₀)

3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem

Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x² = 2py

3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x₀, y₀)

Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x₀, y₀), a equação acima fica: (x - x₀)² = 2p(y - y₀)

Exercícios resolvidos

1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?

Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y² = 2.4.x \ y² = 8x ou y² - 8x = 0.

2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?

Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.
Logo, (y - 0)² = 2.4(x - 2)² \ y² = 8(x-2) \ y² - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.

3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 \ p = 8.
Daí, vem: (y - 3)² = 2.8(x - 2) \ y² - 6y + 9 = 16x - 32 \ y² - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.

4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?

Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 \ p = 6. Logo,
(x - 0)² = 2.6(y - 1) \ x² = 12y - 12 \ x² - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.

Exercício proposto

Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o ponto F(2,2).
Resposta: x² - 4x - 4y + 8 = 0

Fonte: http://www.algosobre.com.br/matematica/geometria-analitica

Progressão Geométrica - P.G.

2009-07-03T07:32:00.000-07:00

1 – Definição

Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

2 - Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a _n, ... ) , onde a₁ é o primeiro termo, e a_n é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a₂ = a₁ . q
a₃ = a₂ . q = (a₁ . q) . q = a₁ . q²a₄ = a₃ . q = (a₁ . q²) . q = a₁ . q³................................................
................................................

Infere-se (deduz-se) que: a_n = a₁ . q^n-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: a_j = a_k . q^j-k

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a₁ = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a₁₀, vem pela fórmula:
a₁₀ = a₁ . q⁹ = 2 . 2⁹ = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a₄ = 20 e a₈ = 320. Logo, podemos escrever: a₈ = a₄ . q^8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q⁴
Então q⁴=16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3 - Propriedades principais

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B² = A . C ; C² = B . D ; D² = C . E ; E² = D . F etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D²

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a₁, a₂, a₃, a₄, ... , a_n , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos S_n , vamos considerar o que segue:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a_n-1+ a_n

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
S_n . q = a₁ . q + a₂ .q + .... + a_n-1 . q + a_n .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
S_n . q = a₂ + a₃ + ... + a_n+ a_n . q

Observe que a₂ + a₃ + ... + a_n é igual a S_n - a₁ . Logo, substituindo, vem:
S_n . q = S_n - a₁ + a_n . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a_n = a₁ . q^n-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:

Observe que neste caso a₁ = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos a_n = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

6 – Exercícios resolvidos e propostos

6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a² + b² + c² .

Solução:

Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x³ = 729 = 3⁶ = 3³ . 3³ = 9³ , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q² – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q² – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a² + b² + c² = 27² + 9² + 3² = 729 + 81 + 9 = 819

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n) é:
A)1
*B) 10
C) 100
D) -1
E) -10

Solução:

Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10ⁿ – 1)
S = (10 – 1) + (10² – 1) + (10³ – 1) + (10⁴ – 1) + ... + (10ⁿ – 1)

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ ) – n

Vamos calcular a soma S_n = 10 + 10² + 10³ + 10⁴ + ... + 10ⁿ , que é uma PG de primeiro termo a₁ = 10, razão q = 10 e último termo a_n = 10ⁿ . Teremos:
S_n = (a_n.q – a₁) / (q –1) = (10ⁿ . 10 – 10) / (10 – 1) = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10ⁿ⁺¹ - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9] – n + n = (10ⁿ⁺¹ – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10ⁿ⁺¹ – 9(S + n) = 10ⁿ⁺¹ – 9(10ⁿ⁺¹ – 10) / 9 = 10ⁿ⁺¹ – (10ⁿ⁺¹ – 10) = 10

6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente
é igual a:
A)1/x
*B) x
C) 2x
D) n.x
E) 1978x

Solução:

Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x^1/2. x^1/4 . x^1/8 . x^1/16 . ... = x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...}

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a₁ = 1 /2 e
razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a₁ / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x^{1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...} = x¹ = x

6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
*d) 48°
e) 50°

Solução:

Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
( x, 2x, 4x, 8x ).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

Fonte: http://www.algosobre.com.br/matematica/progressao-geometrica-pg.html

Progressão Aritmética - P.A.

2009-07-03T05:20:00.000-07:00

1 - Introdução

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.
Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:
(a₁, a₂, a₃, ... , a_k, ... , a_n, ...) onde a₁ é o primeiro termo, a₂ é o segundo termo, ... , a_k é o k-ésimo termo, ... , a_n é o n-ésimo termo. (Neste caso, k <>

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a₃ = 18, a₅ = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles.
Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por a_n = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo a_n (n - ésimo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos
a_n = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a₂₀) é igual a 65.
Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.
Seja por exemplo a seqüência de termo geral a_n = n² + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo:
a₆ = 70 porque a₆ = 6² + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a₁, a₂, a₃, ... , a_n, ...) de razão r.
De acordo com a definição podemos escrever:
a₂ = a₁ + 1.r
a₃ = a₂ + r = (a₁ + r) + r = a₁ + 2r
a₄ = a₃ + r = (a₁ + 2r) + r = a₁ + 3r
.....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. a_n = a₁ + (n – 1) . r
A expressão a_n = a₁ + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.
Nesta fórmula, temos que a_n é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a₁ é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a₁= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a₁₀₀₀. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:
a₁₀₀₀ = a₁ + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a₁ = 100, r = 98 -100 = - 2 e a_n = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:

Sendo a_j o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e a_k o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:
a_j = a_k + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?
Temos a₅ = 30 e a₂₀ = 60.
Pela fórmula anterior, poderemos escrever:
a₂₀ = a₅ + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a₂₀ = 8.
Logo, o termo procurado será: a₃ = a₂₀ + (3 – 20).5
a₃ = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

4 - Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a₁, a₂, a₃, ..., a_n-1, a_n).
A soma dos n primeiros termos S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos:
S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 + a_n

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:
S_n = a_n + a_n-1 + ... + a₃ + a₂ + a₁

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. S_n = (a₁ + a_n) + (a₂ + a_n-1) + ... + (a_n + a₁)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a₁ + a_n ) , de onde concluímos inevitavelmente que:
2.S_n = (a₁ + a_n).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o valor de a₂₀₀ .
Mas, a₂₀₀ = a₁ + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, S_n = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa?
*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5

SOLUÇÃO:
Temos: a₁ = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo a_n:
a_n = a₁ + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)
a_n = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:
S_n = (a₁ + a_n). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
S_n = (16n – 2n²) / 10

Ora, nós queremos que a soma S_n seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n²) / 10 <>

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n² <>

Portanto, n(16 – 2n ) <> 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x² - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale:
a) 8
b) 12
c) 15
*d) 24
e) 33

SOLUÇÃO:
Ora, se x + 1, 2x , x² – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x² – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x² + 2x = 0
3x + 4 – x² = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x² – 3x – 4 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.

Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x² – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.
Resp: 60

SOLUÇÃO:
Teremos que:
0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).
1 hora o relógio baterá 1 vez
2 horas o relógio baterá 2 vezes
3 horas o relógio baterá 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o relógio baterá 12 vezes.

Logo, teremos a seguinte seqüência:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)

A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.

Portanto, a soma dos termos desta PA será:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão.
Resp: r = -1

SOLUÇÃO:
Temos: a₁ = 1 e a_n + n = 2, onde a_n é o n-ésimo termo.
Fazendo n = 2, vem: a₂ + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a₂ = 0.
Daí, r = a₂ – a₁ = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376

SOLUÇÃO:
Números com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)
Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)

Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da fórmula do termo geral a_n = a₁ + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.
Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
S_n = S₁₁₂ = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta é portanto, a letra E.

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.
Resp: 965

SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
a₃ + a₇ = 30
a₄ + a₉ = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:
a₁ + 2r + a₁ + 6r = 30 ou 2.a₁ + 8r = 30
a₁ + 3r + a₁ + 8r = 60 ou 2.a₁ + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:
3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.

Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:
2.a₁ + 8.10 = 30, de onde tiramos a₁ = - 25.

Logo, o centésimo termo será:
a₁₀₀ = a₁ + 99r = - 25 + 99.10 = 965

Fonte: http://www.algosobre.com.br/matematica/progressao-aritmetica-pa.html

Números Complexos

2009-07-03T05:02:00.000-07:00

1. Definições

Vimos na resolução de uma equação do 2º grau que se o discriminante é negativo, ela não admite raízes reais. Por exemplo, a equação

x² + 9 = 0

não admite raízes reais. Se usarmos os métodos que conhecemos para resolvê-la, obtemos

x² = -9

x = ±

mas é inaceitável tal resultado para x; os números negativos não têm raiz quadrada.

Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os matemáticos ampliaram o sistema de números, inventando os números complexos.

Primeiro, eles definiram um novo número

i =

Isso conduz a i² = -1. Um número complexo é então um número da forma a + bi onde a e b são números reais.

Para a equação acima fazemos

x = ±

x = ± .

x = ± 3 i

As raízes da equação x² + 9 = 0 são 3i e - 3i.

Definição

Um número complexo é uma expressão da forma

a + bi

onde a e b são números reais e i² = -1.

No número complexo a + bi, a é a parte real e b é a parte imaginária.

Exemplos

2 + 5i	parte real 2	parte imaginária 5
i	parte real	parte imaginária
12i	parte real 0	parte imaginária 12
-9	parte real -9	parte imaginária 0

Um número como 12i, com parte real 0, chama-se número imaginário puro. Um número real como -9, pode ser considerado como um número complexo com parte imaginária 0.

Igualdade de números complexos

Os números complexos a + bi e c + di são iguais se suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias são iguais, isto é:

a + bi = c + di se

Exemplos

2 + 5i =

Se x e y são números reais e x + yi = 7 - 4i, então x = 7 e y = - 4.

2. Aritmética dos números complexos

Adição e Subtração

Adição

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Para adicionarmos dois números
complexos, adicionamos as partes
reais e as partes imaginárias

Subtração

(a + bi) - (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Para subtrairmos dois números
complexos, subtraímos as partes
reais e as partes imaginárias

Exemplos

(3 + 4i) + (- 7 + 8i) = (3 - 7) + (4 + 8) i

= - 4 + 12i

Na prática, fazemos

(3 + 4i) + (-7 + 8i) =

(- 5 + 6i) - (4 - 2i) = (- 5 - 4) + [6 - (- 2)] i

= - 9 + 8i

Na prática fazemos

(-5 + 6i)

Multiplicação

(a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Multiplicamos números
complexos como multiplicamos
binômios, usando i² = - 1

Exemplos

= 6 – 8i + 9i – 12i²	Distributiva
= 6 + i – 12 . (-1)	-8i + 9i = i e i² = - 1
= 6 + i + 12
= 18 + i

= – 8 – 4i + 4i + 2i²	Distributiva
= – 8 + 2 . (-1)	-4i + 4i = 0 e i² = - 1
= – 8 – 2
= – 10

= – 3i . (4) – 3i . (-2i)

= - 12i + 6i²

= - 12i + 6 . (-1)

= - 6 - 12i

3. O conjugado e a divisão

Divisão de números complexos é semelhante à racionalização do denominador de uma fração com radicais. Assim, se temos o quociente nosso objetivo é escrevê-lo na forma a + bi. Para isso, introduziremos inicialmente o conceito de conjugado de um número complexo.

Complexos conjugados

O conjugado de um número complexo a + bi é a - bi, e o conjugado de a - bi é a + bi.

Os números complexos a + bi e a - bi são chamados complexos conjugados.

Para um número complexo z, seu conjugado é representado com ; então, se z = a + bi escrevemos = a - bi.

Exemplos

O conjugado de z = 2 + 3i é = 2 - 3i

O conjugado de z = 2 - i é = 2 + 3i

O conjugado de z = 5i é = - 5i

O conjugado de z = 10 é = 10

Quando multiplicamos um número complexo z = a + bi pelo seu conjugado = a - bi, o resultado que se obtém é um número real não negativo:

z . = (a + bi) . (a – bi)
= a² – abi + abi – b²i²
= a² – b². (-1)	A soma dos quadrados de dois números reais nunca é negativa
= a² + b²

Usamos essa propriedade para expressar o quociente de dois números complexos na forma a + bi.

Dividindo dois números complexos

Para escrevermos o quociente na forma A + Bi, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo

Vamos escrever o quociente na forma a + bi.

Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, para obter um número real no denominador.

= i

= 1 – i

4. Potências de i

Temos:

i⁰ = 1	i⁴ = i² . i² = (-1) . (-1) = 1
i¹ = i	i⁵ = i⁴ . i = 1 . i = i
i² = -1	i⁶ = i⁴ . i²= 1 . (-1) = -1
i³ = i² . i = -1 . i = -i	i⁷ = i⁴ . i³ = 1 (-i) = -i

Observe que as quatro potências de i na coluna da esquerda, repetem-se nos quatro casos seguintes na coluna da direita. Este ciclo

1, i, -1, -i

repete-se indefinidamente.

Então, para simplificar i^x para x > 4, buscamos o maior múltiplo de 4 contido em x; por exemplo

i²⁶ = i²⁴ . i² = (i⁴)⁶ . i²

= 1⁶ . (-1)

= -1

i⁴³ = i⁴⁰ . i³ = (i⁴)¹⁰ . i³

= i¹⁰ . (-i)

= -i

7. Módulo de número complexo

O módulo (ou valor absoluto) do número complexo a + bi é distância de a + bi à origem do plano complexo. Usando o Teorema de Pitágoras, concluímos que a distância de (a; b) a (0; 0) é .

Definição

O módulo (ou valor absoluto) do complexo z = a + bi é

| z | =

Exemplos

O módulo do número complexo - 3 + 4i é

|-3 + 4i| = = = 5

O módulo do número complexo 7 + 4i é

|7 + 4i| = =

Fonte: http://www.10emtudo.com.br/demo/matematica/numeros_complexos/index_1.html

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 13

2009-06-11T19:39:00.003-07:00

Divisão por 13

Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.

1656 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
1664 Soma

Repete-se o processo com este último número.

166 Número sem o último algarismo
+16 Quatro vezes o último algarismo
182 Soma

Repete-se o processo com este último número.

18 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
26 Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 12

2009-06-11T19:39:00.001-07:00

-Divisão por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:

1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).

2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).

3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 11

2009-06-11T19:38:00.001-07:00

- Divisão por 11

Um número é divisível por 11, quando a soma absoluta dos algarismos de ordem impar e de ordem par, a partir da direita para a esquerda tiver como diferença o número 11.

Em resumo: Soma-se o número em ordem alternativa da direita para a esquerda e a diferença deve ser 11.

Exemplos de fixação:

O número 14927 ( 1ª soma: 7 + 9 + 1 = 17, 2ª soma : 2 + 4 = 6, então 17 – 6 = 11), assim o resultado 14927÷11 = 1357

O número 1727 ( 1ª soma: 7 + 7 = 14, 2ª soma: 2 + 1 = 3, então 14 – 3 = 11), assim o resultado 1727÷11 = 157

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 10, 100 etc

2009-06-11T19:37:00.000-07:00

- Divisão por 10, 100, 1000, 10000 e sucessivamente

Um número é divisível por 10, 1000 ou 10000 ou tantos “ 0” quantos forem a direita, quando o número tiver sua terminação em “ 0” com suas quantidades respectivas de “ 0”.

Em resumo: O número para ser divisível por “10,100 e etc.”, precisa terminar em “ 0”, com suas quantidades respectivas à direita.

Exemplos de fixação:

O número 100 >>>> termina em “0” é divisível por 10 e por 100, o resultado então fica 100÷10=10, 100÷100=1

O número 1000 >>>> termina em “0” é divisível por 10, 100 e por 1000, o resultado então fica 1000÷10 = 100, 1000÷100 = 10, 1000÷1000 = 1

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 9

2009-06-11T19:36:00.002-07:00

- Divisão por 9

Um número é divisível por 9, quando a soma absoluta dos números que o compõem é também divisível por 9.

Em resumo: Somar todas as partes do número, o resultado desta soma deve ser também divisível por 9.

Exemplos de fixação:

O número 5463 >>>> temos (5 + 4 + 6 + 3 = 18, que é divisível por 9), então o resultado é 5463÷9 = 607

O número 2259 >>>> temos (2 + 2 + 5 + 9 = 18, que é divisível por 9), então o resultado é 2259÷9 = 251

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 8

2009-06-11T19:36:00.001-07:00

- Divisão por 8

Um certo número é divisível por 8 quando a formação dos seus 03 últimos algarismos formarem um número que seja divisível por 8.

Em resumo: Os 03 últimos números tem que ser divisível por 8.

Exemplos de fixação:

O número 1960 >>>> temos 960÷8 = 120, assim o resultado de 1960÷8 = 245

O número 1400 >>>> temos 400÷8 = 50, assim o resultado de 1400÷8 = 175

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 7

2009-06-11T19:35:00.001-07:00

- Divisão por 7

Um número é divisível por 7 quando a diferença entre as suas dezenas e o dobro do valor do seu algarismo das unidades é divisível por 7.

Em resumo: Se pega o último algarismo e calcula o seu dobro, diminui este resultado do restante da formação do número.

Exemplos de fixação:

O número 819 >>>> temos 9 x 2 = 18, 81 – 18 = 63 (que é divisível por 7), assim o resultado de 819÷7 = 63

O número 784 >>>> temos 4 x 2 = 8, 78 – 8 = 70 (que é divisível por 7), assim o resultado de 784÷7 = 112

O número 903 >>>> temos 3 x 2 = 6, 90 – 6 = 84 (que é divisível por 7), assim o resultado de 903÷7 = 129

Dica: Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.

Exemplos:

165928 é divisível por 7 pois:

16592 Número sem o último algarismo
-16 Dobro de 8 (último algarismo)
16576 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

1657 Número sem o último algarismo
-12 Dobro de 6 (último algarismo)
1645 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

164 Número sem o último algarismo
-10 Dobro de 5 (último algarismo)
154 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

15 Número sem o último algarismo
-8 Dobro de 4 (último algarismo)
7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 6

2009-06-11T19:34:00.003-07:00

- Divisão por 6

Um número pode ser considerado divisível por 6, quando este for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Em resumo: O número tem que ser divisível pelo número 2 e 3.

Exemplos de fixação:

O número 36 >>>> temos 36÷2 = 18 e 36÷3 = 12, assim o resultado 36÷6 = 6

O número 72 >>>> temos 72÷2 = 36 e 72÷3 = 24, assim o resultado 72÷6 = 12

O número 84 >>>> temos 84÷2 = 42 e 84÷3 = 28, assim o resultado 84÷6 = 14

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 5

2009-06-11T19:34:00.001-07:00

- Divisão por 5

Um número é divisível por 5, todas as vezes que o algarismo da unidade for igual a 0 ou 5.

Em resumo: Todas as vezes que o número terminar com 0 ou 5.

Exemplos de fixação:

O número 1250 >>>> tem sua terminação em 0, resultado 1250÷5 = 250

O número 5555 >>>> tem sua terminação em 5, resultado 5555÷5 = 1111

O número 3650 >>>> tem sua terminação em 0, resultado 3650÷5 = 730

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 4

2009-06-11T19:33:00.002-07:00

- Divisão por 4

Um número qualquer é considerado divisível por 4, quando termina em 00 ou a soma dos seus dois últimos algarismos forma um número divisível por 4.

Em resumo: A soma dos dois últimos números deve ser divisível por 4.

Exemplos de fixação:

O número 3500 >>> termina em 00, logo é divisível por 4, resultado 3500÷4 = 875

O número 6596 >>> os dois últimos algarismos 96 é divisível por 4, resultado 6596÷4 = 1649

O número 7844 >>> os dois últimos algarismos 44 é divisível por 4, resultado 7844÷4 = 1961

O número 1556 >>> os dois últimos algarismos 56 é divisível por 4, resultado 1556÷4 = 389

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 3

2009-06-11T19:33:00.001-07:00

Divisão por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma total dos seus algarismos também for divisível por 3.

Em resumo: Somar todas as partes do número, o resultado desta soma deve ser também divisível por 3.

Exemplos de fixação:

O número 573 >>> soma-se ( 5 + 7 + 3 = 15, que é divisível por 3), então 573÷3 = 191

O número 972 >>> soma-se ( 9 + 7 + 2 = 18, que é divisível por 3), então 972÷3 = 324

O número 10008 >>> soma-se ( 1 + 0 + 0 + 0 + 8 = 9, que é divisível por 3),

então 10008÷3 = 3336

Critérios de Divisibilidade - Divisão por 2

2009-06-11T19:31:00.000-07:00

Abaixo serão listados alguns critérios de divisibilidade mais comuns, bem como exemplos práticos de fixação.

- Divisão por 2

Um certo número é divisível por 2, sempre que o algarismo das unidades forem os números (0,2,4,6 ou 8).

Em resumo: quando o número termina com os números (0,2,4,6,8).

Exemplos de fixação:

O número 410 >>>> é divisível por 2, pois termina em 0, resultado = 205

O número 512 >>>> é divisível por 2, pois termina em 2, resultado = 256

O número 354 >>>> é divisível por 2, pois termina em 4, resultado = 177

O número 786 >>>> é divisível por 2, pois termina em 6, resultado = 393

O número 188 >>>> é divisível por 2, pois termina em 8, resultado = 94

Curiosidades sobre a multiplicação

2009-06-11T19:30:00.000-07:00

Supõe que queres multiplicar dois números com estas características:
• o primeiro algarismo de ambos é igual;
• a soma do segundo algarismo de cada um dos números é 10.
Por exemplo, queremos efectuar a seguinte multiplicação, sem usar calculadora, nem papel:

76 x 74
O 1.º algarismo de cada um dos números é 7 e a soma dos segundos é 10 (6 + 4 = 10).
• 1.º passo: Como o 1.º algarismo é 7, calculas 7 x 8 = 56;
• 2.º passo: Multiplicas os dois últimos algarismos de cada um dos números, ou seja, 6 x 4 = 24.
Ficas então a saber que:
76 x 74 = 5624
Experimenta com outros números nas mesmas condições destes (não te esqueças que os primeiros algarismos têm de ser iguais e a soma dos segundos algarismos tem de ser 10).

Subtração à moda antiga

2009-06-11T19:21:00.000-07:00

No ano 830, Mohamed Ben Musa Alkarismí, um dos sábios mais notáveis do Século IX, fazia uma subtracção de números inteiros, da seguinte forma:

(Para que possa acompanhar as operações usaremos aqui algarismos modernos.)

De 12025 vamos tirar 3604.

A operação era iniciada pela esquerda (operação I). Assim, a 12 tirava 3 e restavam 9; cancelava os algarismos considerados (12 e 3) e escrevia o resto obtido em cima do "minuendo". (Veja abaixo.)

Continuando: a 90 tirava 6 restavam 84.

A diferença obtida (operação II) era escrita sobre o "minuendo", e os algarismos que formavam os termos de subtracção eram cancelados.

Por fim, a 8425 tirava 4 e restavam 8421 (operação III).

E assim temos a diferença entre os números dados.

Curiosidade sobre o número 1089

2009-06-11T19:06:00.000-07:00

Escolha um número qualquer (uma centena), que seja formado por três números diferentes, um do outro. Vou dar como exemplo um número, que seja o 628.

Podia ser qualquer outro.

Agora, faça o seguinte: escreva o inverso deste número, ou melhor, escreva este número de trás para frente. Deverá ser o número 826.

Sempre subtraia o menor do maior, que neste caso é o seguinte:

826 – 628 = 198 - Até aqui tudo bem, né?

Agora inverta, ou escreva de trás para frente este resultado, o número 198.

Este número vai ser o número 891.

Agora some 891 + 198 que vai dar: 1089

Faça você agora escolhendo qualquer outro número. O resultado vai ser sempre

o número 1089.

Boa sorte.

Curiosidades matemáticas

2009-06-11T14:09:00.000-07:00

Curiosidades matemáticas

3 testes para te dar a volta à cabeça

1º

TESTE:

Foi descoberto que o nosso cérebro tem um Bug. Aqui vai um pequeno exercício de calculo mental !!!! Este cálculo deve fazer-se mentalmente (e rapidamente), sem utilizar calculadora nem papel e caneta!!!

Seja honesto... faça cálculos mentais...

Tens 1000, acrescenta-lhe 40. Acrescenta mais 1000. Acrescenta mais 30 e novamente 1000. Acrescenta 20. Acrescenta 1000 e ainda 10.

Qual é o total? (resposta abaixo)

O seu resultado é 5000 ?

A resposta certa é 4100 !!!!

Se não acreditar, verifique com a calculadora. O que acontece é que a sequência decimal confunde o nosso cérebro, que salta naturalmente para a mais alta decimal (centenas em vez de dezenas).

2º TESTE:

TESTE: rápido e impressionante: conte, quantas letras "F" tem no texto abaixo sem usar o mouse:

FINISHED FILES ARE THE RE-

SULT OF YEARS OF SCIENTIF-

IC STUDY COMBINED WITH

THE EXPERIENCE OF YEARS

Contou?

Somente leia abaixo após ter contado os "F".

OK?

Quantos??? 3??? Talvez 4???

Errado, são 6 (seis) - não é piada!

Volte para cima e leia mais uma vez!

A explicação está mais abaixo ...

O cérebro não consegue processar a palavra "OF".

Loucura, não?

Quem conta todos os 6 "F" na primeira vez é um "génio", 3 é normal, 4 é mais raro, 5 mais ainda, e 6 quase ninguém.

3º TESTE:

Sou Diferente? Faça o Teste

Alguma vez já se perguntaram se somos mesmo diferentes ou se pensamos a mesma coisa? Façam este exercício de reflexão e encontrem a resposta!!!

Siga as instruções e responda as perguntas uma de cada vez MENTALMENTE e tão rápido quanto possível mas não siga adiante até ter respondido a anterior.

E surpreendam-se com a resposta!!!

Agora, responda uma de cada vez:

Quanto é:

15+6

3+56

89+2

12+53

75+26

...

25+52

63+32

...

Sim, os cálculos mentais são difíceis mas agora vem o verdadeiro teste.

Seja persistente e siga adiante.

123+5

RÁPIDO! PENSE NUMA FERRAMENTA E UMA COR!

E siga adiante...

...

Mais um pouco...

...

Um pouco mais...

...

Pensou num martelo vermelho, não e verdade???

Se não, você é parte de 2 % da população que é suficientemente diferente para pensar em outra coisa.

98% da população responde martelo vermelho quando resolve este exercício.

Seja qual for a explicação para isso, mandem para os vossos amigos para que vejam se são normais ou não...

Fonte: www.risota.no.sapo.pt

Dicas de Matemática

2009-06-11T14:00:00.000-07:00

1. A primeira dica que eu gostaria de ressaltar é sobre a leitura da questão de matemática. Muitos alunos começam a ler a questão e, sem terminar de ler todo o enunciado, acham que já sabem o que o problema está pedindo e saem fazendo as contas. Mas, na verdade, não sabem realmente qual a pergunta do problema. Isso é muito ruim, pois em muitos problemas a pergunta está justamente no finalzinho do enunciado. Eu vou dar um exemplo: imaginem a seguinte questão - resolvendo a equação 3x = 12... Aí o aluno pára e fala: 3x = 12 eu sei; então x é 12 dividido por 3; então x é 4. Aí ele bate o olho na alternativa A : está escrito 4 na solução. Então, ele fala, "ah, acertei", então ele vai lá e marca. Só que olha como era o enunciado: resolvendo a equação 3x=12, então o valor de X ao quadrado é... Com esse exemplo, você vê que uma questão muito fácil pode ser jogada fora por causa de uma má leitura do enunciado. O que eu aconselho para você é o seguinte: faça uma primeira leitura do enunciado para você se familiarizar com o problema; é preciso que você compreenda o problema. Numa segunda leitura, analise os dados e a pergunta do problema; você precisa encontrar a conexão entre os dados e a incógnita. Encontrada essa conexão, aí sim você deve partir para a resolução do problema.

2. Em toda prova, existem questões fáceis, médias e difíceis. Ao começar resolver a prova, encare as questões como um jogo de pega-varetas. Resolva primeiro as questões que você achar que são fáceis, só para depois você fazer as médias e só depois de tudo isso encarar as difíceis. Se ao ler uma questão e perceber que você sabe sobre o assunto pedido naquele problema, mas naquele momento você não se lembra de um pequeno detalhe ou de uma formulazinha para poder solucionar o problema, pule para a próxima. Só volte para essa questão depois de ter lido as restantes e resolvido aquelas que apresentam soluções bem simples. Nunca fique muito tempo em uma única questão. Quando você perde muito tempo em uma questão, além de ficar nervoso, você joga fora a possibilidade de estar resolvendo questões mais fáceis, ou seja, está jogando fora a possibilidade de somar mais alguns pontinhos.

3. Existem alguns assuntos de matemática que são muito cobrados em praticamente todos os vestibulares, os quais muito provavelmente irão aparecer em sua prova. Eu vou listar esses assuntos e, se você tiver alguma dúvida sobre alguns deles, consulte seu professor ou pergunte pra algum amigo, pro vizinho, pro pai, pra mãe, pra qualquer pessoa, mas não vá fazer a prova sem estar familiarizado com o assunto. Bom, os assuntos são:

porcentagem;

logaritmos - não esqueça da definição, da condição de existência e das propriedades;

semelhança de triângulos;

teorema de Pitágoras;

progressão aritmética - não se esqueça do termo geral e da expressão da soma dos termos. Também não se esqueça de que, quando temos um número ímpar de termos numa PA, o termo do meio é igual à média aritmética dos extremos;

progressão geométrica - não se esqueça do termo geral e da expressão da soma dos termos da PG finita e da infinita. Também não se esqueça de que, quando temos um número ímpar de termos em PG, o termo do meio é a média geométrica dos extremos;

área de figuras planas;

olinômios;

análise combinatória - tenha muito clara, em sua cabeça, a diferença entre arranjos e combinações;

equações de reta e de circunferência;

números complexos.

Além desses assuntos, já faz algum tempo que a Fuvest não pede nada sobre matrizes e determinantes nas provas da primeira fase. Meu palpite diz que vale a pena dar uma olhadinha nesses assuntos, ou seja, operações com matrizes, cálculos de determinantes e propriedades.

4. Analisando as últimas provas da Fuvest, a gente percebe que a tendência do vestibular é cobrar o raciocínio lógico do aluno e não a simples "decoreba" de fórmulas, ou grandes cálculos algébricos para conferir se a gente sabe ou não fazer contas. Os examinadores estão preocupados em analisar se você sabe ou não interpretar o texto, analisar os dados, fazer interligações entre assuntos e disciplinas e, a partir dessa interligação e dessa análise de texto, encontrar alguma seqüência lógica para solucionar o problema. Se ao resolver um exercício você se deparar com contas imensas, números extremamente grandes, desconfie: o caminho que você está seguindo não é o correto ou deve existir um caminho mais fácil e menos trabalhoso para solucionar o exercício.

Ainda dentro dessa dica, queria falar sobre questões que apresentam enunciados muito longos, daquelas que você já olha e fica assustado - "isso aqui não sei". Geralmente, nesse tipo de questão, quando o aluno chega ao fim da leitura do enunciado, já se esqueceu o que dizia o começo do problema: aí fica nervoso e acaba considerando a questão difícil. Tome muito cuidado: quando os enunciados são cumpridos, nem sempre a questão é muito difícil. Nesse tipo de questão, o examinador costuma apresentar uma receita, tipo uma receita de bolo. O que você deve fazer então ? Com calma, leia novamente o texto, interprete o problema em si e siga os passos da receita apresentada. Com certeza, você chegará à solução.

5. Equação do segundo grau é toda equação que pode ser escrita na forma , com . Na equação do segundo grau, o "a", o "b" e o "c" são os coeficientes, e o "x" é a incógnita. Para resolvermos uma equação do segundo grau, podemos utilizar a forma resolutiva de Bhaskara, que é dada por:

em que . Eu sei que você já está bem familiarizado com esta fórmula, mas o que eu gostaria mesmo de frisar é o delta. Quando aparecem questões sobre equação de segundo grau e o examinador faz referências ao delta, ele não fala delta e sim discriminante, ou seja, no meio de uma questão aparece uma frase do tipo "o discriminante de uma equação do segundo grau".... Se o aluno não sabe o que é discriminante, se assusta e pára a questão. Então, não se esqueça: o discriminante é o delta da equação do segundo grau.
Dentro ainda do assunto de equação de segundo grau, queria relembrar soma e produto. A soma das raízes da equação do segundo grau, ou seja:

e o produto, que é

Quando você tem que usar soma e produto? Existem alguns casos em que vale a pena a gente dar uma olhadinha. Quando o exercício nos dá uma relação entre as raízes, ou está pedindo uma relação entre as raízes, do tipo , quanto que vale? Geralmente, quando é pedida uma relação entre as raízes e o aluno não sabe soma e produto, as contas se tornam grandes, pois o delta desse tipo de equação não costuma dar um quadrado perfeito e você acaba se enroscando no meio das contas.

06. Dicas para quem vai prestar o vestibular da Fuvest este ano. Se você quer dar aquela revisada mas o tempo é curto, selecione alguns assuntos quase que inevitáveis, ou seja, aqueles que possuem uma probabilidade maior de ocorrência na primeira fase da Fuvest.
A Álgebra, como sabemos, é a campeã das aparições. Priorize funções de primeiro e segundo graus, assim como inequações e análise de gráficos - ou seja, procure identificar os pontos notáveis para a obtenção de gráficos; por exemplo, ponto de máximo e mínimo, coeficiente linear...
Quanto a matrizes, enfatize o produto entre matrizes, além do cálculo de determinante de terceira ordem; fixe-se bem em conceitos e propriedades. Agora, se o assunto é Logaritmos, preste atenção nas definições e, principalmente, nas propriedades.
Em Trigonometria, procure amadurecer bem a trigonometria no triângulo retângulo e enxergar os eixos seno, cosseno e tangente - e , principalmente, ter a percepção de que os ângulos não estão nos eixos coordenados, embora normalmente sejam a incógnita de uma equação trigonométrica. Falando em equação trigonométrica, é bom não esquecer a famosa relação fundamental: o seno ao quadrado de um ângulo, mais o cosseno ao quadrado do mesmo ângulo, é sempre igual a um. Na maioria dos casos, em Trigonometria essa relação é a salvadora da pátria, e dificilmente te deixa na mão.

07. Questões criativas e bem formuladas de Geometria Plana têm sido cobradas com muita freqüência pela Fuvest. Dentro desse assunto, dê prioridade à semelhança entre triângulos, além do cálculo de áreas de figuras planas de uma forma geral: quadriláteros, triângulos, círculos, etc. Atente, principalmente, para polígonos com "n" lados e procure enxergar figuras mais simples em sua composição, como, por exemplo, o cálculo da área de um hexágono, que é visto como seis vezes a área de um triângulo equilátero de lado igual ao lado do hexágono.
Ainda em geometria plana: evite, nos exercícios de semelhança, desenhar as figuras semelhantes fora do desenho normalmente dado - é pura perda de tempo: nem sempre (ou melhor, nunca) há espaço suficiente para isso na folha de rascunho. Procure - através dos ângulos nas figuras, que, em geral, são triângulos - identificar a semelhança entre elas e estabelecer uma correspondência entre os lados proporcionais e seus respectivos ângulos. Isso suaviza o exercício e, o que é melhor, você ganha tempo para se dedicar a outros exercícios que exijam conhecimentos mais específicos da matéria.

08. Um toque especial, para quem concorre a uma vaga nesse vestibular, é que apesar da Álgebra continuar reinando absoluta, a Geometria Plana e a Aritmética têm chegado lá com muita força. Uma boa pedida para investir tempo de estudo nessa altura do campeonato é em questões de Aritmética, em especial envolvendo porcentagens. Nos últimos anos, cobra-se mais o raciocínio lógico do que propriamente o acúmulo de fórmulas na cabeça; eu costumo até dizer que o cara que sabe bem regra de três e, conseqüentemente, a relação entre o todo e a parte, já tem meio caminho andado para se dar bem nas provas de Química, Física, Matemática e até mesmo de Biologia. Além disso, é provável que esse ano sejam misturados postulados e teoremas de Geometria de Posição com Geometria Espacial. Nesse tópico, estude Pirâmides, Cones e Cilindros e seus respectivos troncos, e preste atenção nas partes da esfera, além dos conjuntos de sólidos que podem ser inseridos um no outro - por exemplo, um cubo dentro de uma esfera. Quanto à Geometria Analítica, é fatal: retas e circunferências têm roubado a cena. Posições relativas entre reta e reta, reta e circunferência e o conceito de coeficiente angular têm de estar bem amadurecidos. Preste atenção: o coeficiente angular representa a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo "x". Procure interligar os assuntos, não os veja em compartimentos estanques, pois tudo acaba se encontrando. Além disso, sempre que possível em geometria analítica, faça um desenho para ajudar: não é a saída para todos os exercícios, mas na maioria dos casos ajuda bastante.

Outra forma de calcular potências

2009-06-09T18:17:00.002-07:00

Pitágoras descobriu que existe outra forma de calcular potências: através da soma de números ímpares. Ele descobriu que n2 é igual a soma dos n primeiros números naturais ímpares. Exemplo:

52 = 1+3+5+7+9 = 25

Você sabe o que é um número capicua?

2009-06-09T18:17:00.001-07:00

Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:

Partindo do número 84: 84+48=132;132+231=363, que é um número capicua.

O maior par de primos gêmeos conhecido

2009-06-09T18:16:00.001-07:00

O maior par de primos gêmeos conhecido é 2003663613 . 2195000+/-1. Esses primos têm 58711 dígitos, e foram descobertos em janeiro de 2007.

Você sabe qual é o maior número primo conhecido?

2009-06-09T18:15:00.000-07:00

O maior número primo conhecido é 232.582.657-1, que tem 9.808.358 dígitos e foi descoberto em 4/9/2006 pelos Drs. Curtis Cooper, Steven Boone e sua equipe. Este primo tem 650.000 dígitos a mais do que o maior primo encontrado por eles mesmos em dezembro de 2005.